Definición:
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.
Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas (MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Determistas.
Supuestos Básicos de la Programación Lineal: Linealidad, Modelos Deterministas, Variables reales, No Negatividad.
APLICACIONES
1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:
Leche
(lt)
Legumbre
(1 porción)
Naranjas
(unidad)
Requerimientos
Nutricionales
Niacina
3,2
4,9
0,8
13
Tiamina
1,12
1,3
0,19
15
Vitamina C
32
0
93
45
Costo
2
0,2
0,25
Variables de Decisión:
X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta
X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta
X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta
Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3
Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales
Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13
Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15
Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45
No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0
Compruebe utilizando nuestro Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.
Análisis Gráfico:
El análisis gráfico es una alternativa eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación Lineal en 2 variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se encontrará en el primer cuadrante, como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema lineal.
Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio de puntos factibles. Es decir, si luego de gráficar el dominio y evaluar los distintos vértices de modo de elegir "el mejor" candidato según sea nuestro caso (el valor de la función objetivo será la que nos permitirá discriminar cual es el mejor candidato dependiendo si estamos maximizando o minimizando).
Consideremos un Ejemplo Introductorio en 2 variables:
D) MIN 8X + 6Y
S.A. 2X + Y >= 10
...... .2X + 2Y >= 16
..... ..X>= 0, Y>= 0
Comentario: Nótese que corresponde al Problema Dual de P) cuya resolución se presenta en nuestro sitio como ejemplo introductorio en la utilización de Solver de MS Excel. Para ver el detalle de la resolución gráfica de P) se recomienda al usuario ingresar AQUI.
Para resolver el problema D) graficamos el dominio de puntos factibles y las curvas de nivel asociadas a la función objetivo:
El área marcada en color verde representa el dominio de puntos factibles del problema D), es decir, son las distintas combinaciones de valores que pueden adoptar las variables de decisión que satisfacen las restricciones del problema. Cabe destacar que esto corresponde a un dominio no acotado, lo que no implica que el problema no tenga solución.
Por otra parte sabemos que el óptimo de un problema lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles. En este caso tenemos 3 vértices candidatos al óptimo los cuales se señalan con flecha blanca y azul. El vértice (X,Y)= (0,10) con V(P)=60; (X,Y)=(2,6) con V(P)=52 y (X,Y)=(8,0) con V(P)=64. El mínimo valor para la función objetivo se alcanza en (X,Y)=(2,6) con V(P)=52, el cual resulta ser la Solución Óptima de D). Sin embargo, una forma más eficiente para obtener el óptimo que no implique evaluar cada vértice en la función objetivo, es desplazando las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección del máximo decrecimiento (en el caso de un problema de minimización). Para un problema de minimización, el mayor decrecimiento se alcanza en la dirección del vector " - Gradiente F(X,Y)", en nuestro caso el vector con dirección (-8,-6) (dirección representada por flecha roja). Luego, el óptimo se alcanza en el último punto donde las curvas de nivel intersectan al dominio de puntos factibles en la dirección del máximo decrecimiento, cuya solución obviamente corresponde a (X,Y)=(2,6) con V(P)=52.
